Sobrino del mítico Jacinto Quincoces, Juan Carlos Díaz Quincoces llegó al Mestalla procedente del San José de Vitoria en el verano de 1952, con 18 años de edad, de la mano de su tío. Lejos de tratarse de un caso de favoritismo, el jugador siguió los pasos lógicos antes de llegar al primer equipo. Marchó cedido una temporada al Catarroja, y ascendió peldaño a peldaño. Pasó dos temporadas en el filial, en las que jugó 59 partidos como titular en Segunda División y comenzó a forjar su leyenda de bravo e incansable defensa, que podía jugar como central y como lateral derecho, y que estaba destinado a liderar la zaga del Valencia CF durante los siguientes diez años.

Así fue como finalizando la temporada 1953-1954, Jacinto Quincoces le dio la alternativa para debutar en Primera División, el 25 de abril de 1954, en la última jornada de Liga frente a Osasuna en Mestalla. Su rendimiento fue tan bueno, que se quedó en el primer equipo para jugar la Copa, y fue incluso titular en la final disputada en Chamartín, y en la que el Valencia derrotó 3-0 al FC Barcelona. Quincoces se convirtió en uno de los más llamativos casos de precocidad, ya que había conseguido conquistar su primer título tras sólo seis partidos oficiales.

La siguiente temporada, la inició ya como parte integrante del primer equipo. Comenzó como titular en el lateral derecho, y aunque fue mudando hacia la zona central, no perdería su puesto en el once inicial hasta una década después. Durante las diez temporadas en las que se mantuvo en el primer equipo, jugó 143 partidos oficiales seguidos, 126 de ellos de Liga, lo que constituyó un récord absoluto dentro de la historia del club. Sólo marcó un, el 02 de febrero de 1958 contra la Real Sociedad, aunque Juan Carlos tenía claro su rol en el equipo, que era eminentemente defensivo.

Durante su estancia en el Valencia, fue ocho veces internacional absoluto como central. Tenía todos los requisitos para triunfar en ese puesto. Infranqueable en el juego por alto, era poderoso en las entradas y casi imposible desbordarle por velocidad. Cuando recuperaba el balón, tenía las ideas claras para dar salida al balón. Su encomiable espíritu de sacrificio era un ejemplo para los más jóvenes, y su posicionamiento sobre el campo era sencillamente magistral. Se convirtió al tiempo en un hombre de club, ejemplo para las generaciones venideras.

Sufrió una importante lesión en 1960, que le apartó de la titularidad indiscutible durante algunas temporadas. En sus últimas tres campañas llegaron los éxitos europeos, y pese a que los años pasaban y algunos sectores de la grada criticaban su presencia, no faltó a las citas y fue titular las tres finales. En 1965, con 32 años de edad, decidió poner punto y final a su estancia en Mestalla y jugó dos temporadas con el Real Murcia. Después marchó a Vitoria, para jugar en el Deportivo Alavés, donde colgó las botas de forma definitiva.

Juan Carlos Quincoces falleció el 28 de noviembre de 2002, en su domicilio de Pamplona, a los 69 años de edad.